Aportaciones de Newton y Leibniz
 |
Newton había descubierto
los principios de su cálculo diferencial e integral hacia 1665–1666 y, durante
el decenio siguiente, elaboró al menos tres enfoques diferentes de su nuevo
análisis.
Newton y Leibniz
protagonizaron una agria polémica sobre la autoría del desarrollo de esta rama
de la matemática. Los historiadores de la ciencia consideran que ambos
desarrollaron el cálculo independientemente, si bien la notación de Leibniz era
mejor y la formulación de Newton se aplicaba mejor a problemas prácticos. La
polémica dividió aún más a los matemáticos británicos y continentales, sin
embargo esta separación no fue tan profunda como para que Newton y Leibniz
dejaran de intercambiar resultados.
Newton abordó el desarrollo del
cálculo a partir de la geometría analítica desarrollando un enfoque geométrico
y analítico de las derivadas matemáticas aplicadas sobre curvas definidas a
través de ecuaciones. Newton también buscaba cómo cuadrar distintas curvas, y
la relación entre la cuadratura y la teoría de tangentes.
Después de los estudios de
Roberval, Newton se percató de que el método de tangentes podía utilizarse para
obtener las velocidades instantáneas de una trayectoria conocida. En sus
primeras investigaciones Newton lidia únicamente con problemas geométricos,
como encontrar tangentes, curvaturas y áreas utilizando como base matemática la
geometría analítica de Descartes. No obstante, con el afán de separar su teoría
de la de Descartes, comenzó a trabajar únicamente con las ecuaciones y sus
variables sin necesidad de recurrir al sistema cartesiano.
Después de 1666 Newton abandonó
sus trabajos matemáticos sintiéndose interesado cada vez más por el estudio de
la naturaleza y la creación de sus Principia.
Aunque la noción matemática de
función estaba implícita en la trigonometría y las tablas logarítmicas, las
cuales ya existían en sus tiempos, Leibniz fue el primero, en 1692 y 1694, en
emplearlas explícitamente para denotar alguno de los varios conceptos
geométricos derivados de una curva, tales como abscisa, ordenada, tangente,
cuerda y perpendicular. En el siglo XVIII, el concepto de “función” perdió
estas asociaciones meramente geométricas.
Leibniz fue el primero en ver que
los coeficientes de un sistema de ecuaciones lineales podían ser organizados en
un arreglo, ahora conocido como matriz, el cual podía ser manipulado para
encontrar la solución del sistema, si la hubiera. Este método fue conocido más
tarde como “Eliminación Gaussiana”. Leibniz también hizo aportes en el campo
del álgebra booleana y la lógica simbólica.
Cálculo infinitesimal
La invención del cálculo
infinitesimal es atribuida tanto a Leibniz como a Newton. De acuerdo con los
cuadernos de Leibniz, el 11 de noviembre de 1675 tuvo lugar un acontecimiento
fundamental, ese día empleó por primera vez el cálculo integral para encontrar
el área bajo la curva de una función y=f(x). Leibniz introdujo varias
notaciones usadas en la actualidad, tal como, por ejemplo, el signo “integral”
∫, que representa una S alargada, derivado del latín “summa”, y la letra “d”
para referirse a los “diferenciales”, del latín “differentia”. Esta ingeniosa y
sugerente notación para el cálculo es probablemente su legado matemático más
perdurable. Leibniz no publicó nada acerca de su Calculus hasta 1684. La regla
del producto del cálculo diferencial es aún denominada “regla de Leibniz para
la derivación de un producto”. Además, el teorema que dice cuándo y cómo
diferenciar bajo el símbolo integral, se llama la “regla de Leibniz para la
derivación de una integral”.
Desde 1711 hasta su muerte, la
vida de Leibniz estuvo emponzoñada con una larga disputa con John Keill, Newton
y otros sobre si había inventado el cálculo independientemente de Newton, o si
meramente había inventado otra notación para las ideas de Newton.
Leibniz pasó entonces el resto de
su vida tratando de demostrar que no había plagiado las ideas de Newton.
Actualmente se emplea la notación
del cálculo creada por Leibniz, no la de Newton.
Si bien las reglas de operación y
las principales relaciones entre ellas quedaron claramente establecidas con
Newton y Leibniz, y con ello salía a la luz una nueva materia el Cálculo
todavía quedaba mucho por hacer.
Sus fundamentos eran imprecisos,
no solamente para sus autores, sino para los estudiosos de las matemáticas que
les sucedieron durante ese tiempo se buscó pasar de la justificación basada en
el pragmatismo dado por la consistencia de los resultados obtenidos, con la
visión del mundo físico que ofrecía la geometría hacia una explicación que
fuera más allá de lo intuitivamente plausible.
Esto no fue posible hasta en el
que el éxito en el desarrollo del formalismo algebraico dio lugar al impulso de
sistemas matemáticos independientes de los postulados afines a la experiencia
sensorial.
Fue hasta entonces que el Cálculo
tuvo manera de adoptar sus propias premisas y construir sus propias
definiciones sujetas solamente a los requerimientos de su consistencia interna.
Queremos insistir como se
pretende resaltar la gran cantidad de aportaciones que contribuyeron al
nacimiento del Cálculo y hacer notar que el desarrollo de sus conceptos
principales, la derivada y la integral, tuvieron una larga evolución; primero
para llegar a establecerse como operaciones inversas entre si con sus reglas
bien definidas, y luego para evolucionar en sus fundamentos desde
argumentaciones asentadas en la experiencia sensible, hasta su elaboración
final como abstracciones matemáticas definidas en términos de lógica formal
mediante la idea de límite de una serie infinita. Así, la derivada y la
integral están en el análisis matemático moderno definidas sintéticamente en
función de consideraciones ordinales, y no en función de aquellas
consideraciones de variación física y cantidades geométricamente continuas que
les dieron origen.
